元、理学部数学科のかずかさんです♪
あし＠の足跡がきっかけで、とある受験生のサイトにお邪魔しました
受験生の勉強のお話をみていたら

かずかさんも久しぶりにわくわくしてきました♪



では調子に乗ってるかずかさんの講義をお聞きください♪




１時限目【1 ＝ 0.999999・・・・・・】


みなさんが本当に信じている数字は果たして正しいのでしょうか？
りんごが１個とよく言いますが
本当にりんごは１個あるのでしょうか？

今日の内容は【無限小数】についてです


●まずは、　1/3　を考えてみましょう

　　　　1/3 ＝ 0.333333・・・・・・

この式は正しいですよね。それでは、両辺に　3　をかけてみましょう

　　　 1/3 × 3 ＝ 0.333333・・・・・・ × 3
　　　　　　　　 1 ＝ 0.999999・・・・・・ !?(゜゜;)エエッ

●次に　1/9　を考えてみましょう

　　　　1/9 ＝ 0.111111・・・・・・

両辺に　2　をかける　　　　2/9 ＝ 0.222222・・・・・・
両辺に　3　をかける　　　　3/9 ＝ 0.333333・・・・・・
両辺に　4　をかける　　　　4/9 ＝ 0.444444・・・・・・
両辺に　5　をかける　　　　5/9 ＝ 0.555555・・・・・・
両辺に　6　をかける　　　　6/9 ＝ 0.666666・・・・・・
両辺に　7　をかける　　　　7/9 ＝ 0.777777・・・・・・
両辺に　8　をかける　　　　8/9 ＝ 0.888888・・・・・・
両辺に　9　をかける　　　　9/9 ＝ 0.999999・・・・・・

不思議ですよね。
両辺に同じ計算をすれば値は変わらないはずなのに、
右辺は 1 よりちょっとだけ小さい感じになってますね。

しかし、　1 ＝ 0.999999・・・・・・ 　という等式は成立します。
今それを証明してみましょう。


【証明】
α＝0.999999・・・・・・　　←①　　とおく
このとき、両辺を　10倍　すると
10α＝9.999999・・・・・・　　←②
②－①　をする
10α－α＝9.999999・・・・・・　－　0.999999・・・・・・
9α＝9.000000・・・・・・
両辺を 9 で割る
α＝1.000000・・・・・・
α＝1　←③
したがって、　①＆③より
α＝0.999999・・・・・・　かつ　α＝1　であるので
1 ＝ 0.999999・・・・・・　は成り立つ

【証明終り】





結局のところ【無限小数】は次のように考えておいてください


①実際には適当なところで打ち切って使う

②どこが適当かは、場合ごとにその許容誤差限界に応じて決める

③どこが適当か分からない場合は、とりあえず『・・・・・』と書く

　○『・・・・・』の部分は空想力を働かせて
　　【無限に続けばぴったり合う】と考えてもよいし、
　　【この後も続きます、必要に応じて計算して使ってください】
　　という意味に解釈してもよい　　






数学って楽しいな♪
と思える人が１人でも増えることを願っています(*＾-＾)